代数独立

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代数独立

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在抽象代数里,一个体

L

{\displaystyle L}

的子集

S

{\displaystyle S}

若被称做代数独立于一子体

K

{\displaystyle K}

的话,表示

S

{\displaystyle S}

内的元素都不符合系数包含在

K

{\displaystyle K}

内的非平凡多项式。这表示任何以

S

{\displaystyle S}

内元素排成的有限序列

α

1

,

,

α

n

{\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}}

(没有两个是一样的)和任一系数包含在

K

{\displaystyle K}

的非零多项式

P

(

x

1

,

,

x

n

)

{\displaystyle P(x_{1},\cdots ,x_{n})}

,都会得到:

P

(

α

1

,

,

α

n

)

0

{\displaystyle P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0}

特别的是,单元素集合

{

α

}

{\displaystyle \{\alpha \}}

若是代数独立于

K

{\displaystyle K}

的话,若且唯若

α

{\displaystyle \alpha }

会是

K

{\displaystyle K}

内的超越数或超越函数。一般而言,和于

K

{\displaystyle K}

代数独立集合的所有元素也必然会是

K

{\displaystyle K}

内的超越数或超越函数,但反之则不必然。

举例来说,实数

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

的子集

{

π

,

2

π

+

1

}

{\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}

并不代数独立于有理数

Q

{\displaystyle \mathbb {Q} }

,当存在一非零多项式:

P

(

x

1

,

x

2

)

=

2

x

1

2

x

2

+

1

{\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}

x

1

{\displaystyle x_{1}}

代入

π

{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}

x

2

{\displaystyle x_{2}}

代入

2

π

+

1

{\displaystyle 2\pi +1}

时会变成

0

{\displaystyle 0}

林德曼-魏尔斯特拉斯定理时常用做证明某些函数会代数独立于有理数:当

α

1

,

,

α

n

{\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}}

为线性独立于有理数的代数数时,

e

α

1

,

,

e

α

n

{\displaystyle {\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}}

便会代数独立于有理数。

现在依然没有证明出集合

{

π

,

e

}

{\displaystyle \{\pi ,{\mbox{e}}\}}

是否代数独立于有理数。Nesterenko(英语:Yuri Valentinovich Nesterenko)在1996年证明了

{

π

,

e

π

,

Γ

(

1

/

4

)

}

{\displaystyle \{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}}

是代数独立于有理数的。

给定一体扩张

L

/

K

{\displaystyle L/K}

,我们可以利用佐恩引理来证明总是存在一

L

{\displaystyle L}

的最大代数独立子集于

K

{\displaystyle K}

。甚至,所有个最大代数独立子集都会有相同的基数,称之为此一体扩张的超越次数。

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