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在抽象代数里,一个体
L
{\displaystyle L}
的子集
S
{\displaystyle S}
若被称做代数独立于一子体
K
{\displaystyle K}
的话,表示
S
{\displaystyle S}
内的元素都不符合系数包含在
K
{\displaystyle K}
内的非平凡多项式。这表示任何以
S
{\displaystyle S}
内元素排成的有限序列
α
1
,
⋯
,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}}
(没有两个是一样的)和任一系数包含在
K
{\displaystyle K}
的非零多项式
P
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle P(x_{1},\cdots ,x_{n})}
,都会得到:
P
(
α
1
,
⋯
,
α
n
)
≠
0
{\displaystyle P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0}
特别的是,单元素集合
{
α
}
{\displaystyle \{\alpha \}}
若是代数独立于
K
{\displaystyle K}
的话,若且唯若
α
{\displaystyle \alpha }
会是
K
{\displaystyle K}
内的超越数或超越函数。一般而言,和于
K
{\displaystyle K}
代数独立集合的所有元素也必然会是
K
{\displaystyle K}
内的超越数或超越函数,但反之则不必然。
举例来说,实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的子集
{
π
,
2
π
+
1
}
{\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}
并不代数独立于有理数
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
,当存在一非零多项式:
P
(
x
1
,
x
2
)
=
2
x
1
2
−
x
2
+
1
{\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
代入
π
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
和
x
2
{\displaystyle x_{2}}
代入
2
π
+
1
{\displaystyle 2\pi +1}
时会变成
0
{\displaystyle 0}
。
林德曼-魏尔斯特拉斯定理时常用做证明某些函数会代数独立于有理数:当
α
1
,
⋯
,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}}
为线性独立于有理数的代数数时,
e
α
1
,
⋯
,
e
α
n
{\displaystyle {\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}}
便会代数独立于有理数。
现在依然没有证明出集合
{
π
,
e
}
{\displaystyle \{\pi ,{\mbox{e}}\}}
是否代数独立于有理数。Nesterenko(英语:Yuri Valentinovich Nesterenko)在1996年证明了
{
π
,
e
π
,
Γ
(
1
/
4
)
}
{\displaystyle \{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}}
是代数独立于有理数的。
给定一体扩张
L
/
K
{\displaystyle L/K}
,我们可以利用佐恩引理来证明总是存在一
L
{\displaystyle L}
的最大代数独立子集于
K
{\displaystyle K}
。甚至,所有个最大代数独立子集都会有相同的基数,称之为此一体扩张的超越次数。